이 글에 제시된 풀이에 오류가 있을 수 있음을 미리 안내드립니다. 오류를 발견하실 시, 댓글로 알려주시면 감사하겠습니다.
문제
간만에 나온 매트릭스 구조해석 문제입니다.
풀이
풀이 전 생각
1)에서는 요소 강성 행렬을 유도하고, 2)에서는 간단한 구조의 변위와 반력을 구하는 문제입니다.
1)에서 구한 요소 강성 행렬을 이용해 매끄럽게 풀이를 이어가기 위해, 직접강도법으로 2)의 답을 도출해야겠다고 생각했습니다.
요소 강성행렬 유도
양측이 힌지이므로 축력만 작용합니다.
각 단에서의 변위를 0으로 두고 구한 하중들을 중첩하여, 요소 내의 전체 하중-변위 관계를 구했습니다.
직접강도법 사용
사실 이 문제는 매트릭스 변위법을 사용하는 것이 가장 간단합니다.
그러나 문제 의도에 따라 요소 강성 행렬을 사용해야 하므로, 직접 강도법을 이용해 답을 도출했습니다.
u2에서는 부재 1과 2가, u3에서는 부재 2와 3이 겹치므로,
요소 강성 행렬을 변위가 겹치는 곳에서 합쳐(병렬이므로) 전체 강성 행렬을 구할 수 있습니다.
전체 강성 행렬은 전체 하중과 변위의 관계를 나타냅니다.
식과 미지수가 각각 4개이므로, 행렬의 연립 방정식을 풀어 원하는 값을 구할 수 있습니다.
검토
직접 강도법을 주로 사용하는 분들은 많지 않을 것입니다.
따라서 변위법이나 에너지법으로 검토해 보는 것을 권장드립니다.
난이도
★★☆☆☆ (난이도 5점 만점 중 2점)
생소할 뿐, 유도나 계산이 어려운 문제는 아닙니다.
추가 보충: 매트릭스 구조해석
정의
매트릭스 구조해석(Matrix Structural Analysis)은 구조물의 변위, 응력, 변형 등을 행렬 연산을 통해 해석하는 방법입니다. 각 부재와 절점에서 발생하는 힘과 변위를 행렬로 표현하여 구조물의 거동을 계산합니다. 매트릭스 구조해석은 특히 컴퓨터를 활용한 구조해석에 유리하여, 구조해석의 중요한 방법 중 하나입니다.
장점
전체 거동을 한 번에 파악 가능
매트릭스 구조해석은 구조물의 주요 절점에서 발생하는 변위와 하중을 동시에 계산하여 전체 거동을 빠르게 파악할 수 있습니다. 특히 독립적인 자유도가 있는 구조물에서 하중을 받았을 때의 변형을 효율적으로 계산할 수 있습니다.
차수가 많은 부정정 구조 해석에 유리
부정정차수가 많은 구조물은 미지력이 많아져 에너지법 등으로 해석하기가 복잡해질 수 있습니다. 그러나 매트릭스 구조해석은 이러한 구조물에서도 효과적으로 해석할 수 있어, 복잡한 구조물에 유리합니다.
검토와 비교에 용이
매트릭스 구조해석은 에너지법, 중첩법, 처짐각법 등과 비교해 구조물의 거동을 검토하는 데 적합합니다. 다른 해석법과의 차별성을 통해 결과를 검토하거나 오류를 비교 분석하는 데 매우 유리합니다.
단점
컴퓨터 연산에 특화
매트릭스 구조해석은 대규모 연산에 특화되어 있어 컴퓨터 연산에 대한 의존도가 높습니다. 간단한 구조의 경우 에너지법을 사용하면 계산기로 더 빠르게 해결될 수 있습니다. 반면, 행렬이 커질수록 초기 구성과 연산 시간이 증가할 수 있습니다.
실수 발견이 어려움
매트릭스 구조해석은 계산 과정의 흐름이 명확하게 드러나지 않아 실수를 찾기 어렵다는 단점이 있습니다. 에너지법은 계산 플로우가 명확하여 이해하기 쉬운 반면, 매트릭스 해석법은 계산 과정에서 오류를 식별하기가 어렵습니다.